3.3.3 函数的最大(小)值与导数.docx

3. 3.3函数的最大(小)值与导数【选题明细表】学问点、方法题号函数极值与最值的关系1函数的最值2,3,6,13由函数最值求参数(或范围)4,5,7,10函数最值的应用9,11综合应用8,12【基础巩固】1 .下列说法正确的是(D)（八）函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,微小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数肯定有最值,也肯定有极值(C)若函数在其定义域上有最值，则肯定有极值;反之,若有极值，则肯定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区分知选D.2 .函数f(x)=x'-3x(x1)(D)（八）有最大值,但无最小值(B)有最大值,也有最小值(C)无最大值,但有最小值(D)既无最大值,也无最小值解析：f'(x)=3x"-3=3(x+l)(x-1),因为xe(-1,1),所以f'(x)<0,即函数在(7,1)上是单调递减的,所以既无最大值，也无最小值.故选D.3 .函数f(x)=3x(-wWxW3)的最大值为(B)()18(B)2(C)O(D)-18解析:f'(x)=3-3x：令f'(X)=O,得x=±l,5Wx<T时,f'(x)<0,-KxQ时，f'(x)>0,kx3时,f'(x)<0,故函数在X=T处取微小值,在x=l处取极大值.因为f(D=2,f(T)=-2,乂f(-v5)=0,f(3)=-18,所以f(x)1.,=2,f(x)UI=T8.故选B.4. (2019大同高二检测)函数f(x)=x'3a-a在(M)内有最小值,则a的取值范围是(B)()0,1)(B)(0,1)(C)(-1,1)(D)(OW)解析:因为f'(x)=32-3a,令f'(x)=0,可得a=x”有解,又因为x(0,1),所以0<a<l,故选B.5. (2019东莞市高二期末)已知a£R,若不等式n-9-20对于随意xG(1,+8)恒成立,则a的取值范围为(C)（八）(-,2(B)(-8,(C)(-,-1(D)(-8,0解析：由己知得,a<xlnx+x2-2x,x(1,+),令f(x)=xlnx+x1-2x(x>l),则f'(X)=Inx+2-l,f,(x)>0,f(x)在(1,+8)递增，故f(x)>-l,故aT.故选C.6 .函数f(x)=,x-2,2的最大值是,最小值是.解析倜为(卓萨谭探令y'=0可得x=l或-1.又因为f(l)=2,f(-l)=-2,f(2)f(-2)=4所以最大值为2,最小值为-2.答案：2-27 .(2019包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+l在0,1上的最小值为f(I)JliJa的取值范围为.解析：f'(x)=2x+2a,f(x)在0,1上的最小值为f(l),说明f(x)在0,1上单调递减,所以xw0,1时，f'(x)SO恒成立，f,(l)=2+2aW0,所以aW-l.答案8 .(2019北海高二检测)已知函数f(x)=-1+3xz+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解：(Df(X)定义域为R,因为f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)<0,解得x<T或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-8,T),(3,+8).(2)由(D及已知,f(x)在-2,-1上是减函数,在-1,2上是增函数,因为f(-2)=8+12T8+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).于是有22+a=20,所以a=-2.所以f(x)=-"+3x'+9-2.所以f(-l)=l+3-9-2=-7,即f(x)最小值为-7.【实力提升】9 .已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数，在a,b上连续且(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为（八）（八）f（八）-g（八）(B)f(b)-g(b)(C)f（八）-g(b)(D)f(b)-g（八）解析：f(x)-g(x)'=f'(x)-g,(x)<0,所以函数f(x)-g(x)½a,b上单调递减，所以f(xAg(x)的最大值为f（八）-g（八）.故选.10.(2019桂林高二检测)设直线X=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnX的图象分别交于点M,N,则当IMNl达到最小值时t的值为(D)()l(B)(C)f(D)f解析：IMNl的最小值,即函数h(x)=Z-lnX的最小值,h'(x)=2x+岑,明显x=¥是函数h(x)在其定义域内惟一的微小值点，也是最小值点,故t=f.11. 已知函数f(x)=e,-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析：函数f(x)=e-2x+a有零点，即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2-ey=a有交点，而g'(x)=2-e易知函数g(x)=2-e'在(-,ln2)上递增,在(In2,+8)上递减,因而g()=2-e'的值域为(-8,2In2-2,所以要使函数g(x)=2-ey=a有交点,只需a21n2-2即可.答案：(-8,21n2-212. (2019郑州高二质检)已知函数f(x)=(aW)x'lnx(aR).当a=l时,求f(x)在区间U,e上的最大值和最小值;(2)若在区间(1,+8)上，函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.解：当a=l时,f(x)=#+lnx,x>0,f,()=÷2;对于X£1,e,有f'()>0,所以f(x)在区间l,e上为增函数，所以f(x).n,=f(e)=l+pf(x)-=fW令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x'-2ax+lnx,在区间(1,+8)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<O在区间(1,+8)上恒成立，因为g'(X)=(2a-1)竺W".若a>g,令g'(x)=0,得小=1,X2j,当x-笈<1时，在(X2,+8)上有g'(x)>0,此时g(x)在区间(沟,+8)上是增函数，当X+lj,W(a-)x-2ax-+,In-*+ootg(x)g(xJ,+8),不合题意；当XzWxi=IHJaR时，同理可知,g(x)在区间(1,+8)上是增函数，当f+8时，有(a4)xJ-2ax-+,In-*+ootg(x)w(g(l),+8),也不合题意.若a<g,则2aT0,此时在区间(1,+8)上恒有()<0,从而86)在区间(1,+8)上是减函数.要使g(x><O在此区间上恒成立，只须满意g(D=-aT/O,即a'T，所以TWa综上所述,a的取值范围是【探究创新】13. (2019张家口高二检测)已知函数f(x)=xW*a(a>0),求函数在1,2上的最大值.解:因为f(x)=x%3(a>0),所以f'(x)=2XerX2(-a)e=e4'(-ax2+2x).令f'(x)>0,BJeux(-ax2+2x)>0,得0<x<.所以f(x)在(-8,0),¢+8)上是减函数，在(0,3上是增函数.当04<1,即a>2时,f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)*f=e°.当1*2,即l<a<2时，f(x)在(1,：)上是增函数，在(：,2)上是减函数，所以f(x)n,=f2.当92,即0<al时，f(x)在1,2上是增函数,所以f(x)皿=f(2)=4e:综上所述,当OSWl时，f(x)的最大值为4e2u;当l<a<2时,f(x)的最大值为Ae-2;当aN2时，f(x)的最大值为e".