大题06 函数与导数的综合问题（解析版）.docx

大题06函数与导数的综合问题1 .利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，多以解答题的形式出现，为压轴题，难度较大.2 .导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.3 .导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型：Q)判断、证明或讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质研究.球H题H突H破I大题典不等式恒成立或有解问题已知函数/(x)=x2-(+l)ln尤若/(x)(2-)111；1对.1«1,+«)恒成立，求a的取值范围.【解题指导】份离参数If构造函数状幻=工T函数g*)求导H分析g(X)在Q÷o°)上的单调性H求g*)的InXl最不回一解不等式求a的画I【解析】由/(x)(1)lnx对XG(I,÷oo)恒成立，得/+工对工e(,y)恒成立Inx【卡壳点】分离参数，构造函数设g)=1,>),则g)=n蒜2(l,e),(x)<0t当xw(忘+)时，,(x)>O.【易错点】注意定义域要求所以M=M闷=2e，则/+12e,解得-J2e-1aJ2e-1,故a的取值范围是-怀二I"二口.>»»解接族导1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为“>"r)ma、或Vx)min的形式，通过导数的应用求出人工)的最值，即得参数的范围.2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.>»»49变式已知函数/(x)=ex(2+*+2)(eR),其中e是自然对数的底数.若/(x)/在区间-2,0上有解，求实数。的取值范围.【解题指导】函数导数f转化为含参二次函数f分类讨论问题求出函数的最小值f最小值不大于二列e'不等式求解【解析】若)m在区间-2,o上有解，即求/(X)而f,M=eA(X2+20r+%)+eA(2x+2a)=3。+2)(x+2)【卡壳点】分界点的寻找，比较两根2。,2的大小引起当。=1时，r*)=e%x+2)20,/(x)在R上单调递增，所以“X)在-2,。上的最小值为/(x)min=/(-2)=e-2(4-4+2)=-<不成立，故不满足题意.当“<1时，由f(x)>0得XV-2或X>-2a»由f(x)<0得一2VXV-2a»所以/(x)在(to,-2),(-2«”)上单调递增，在(-2,-2)上单调递减，若o0时，则函数F(X)在-20单调递减，所以f(力.=f(O)=e°加=%/成立，满足题意若0<<l时，函数"x)在-2,-2可单调递减，在-次,0上单调递增.所以"x)min=-2)=e32a/,.l+竽>1不成立，舍去，当4>l时，由/(x)>0得JVV-勿或>-2,由/(x)<0得-2vx<-2,所以/(x)在(F,-2a),(-2,小)上单调递增，在(-加,-2)上单调递减.所以函数/(x)在-2,0单调递增，/(x)Mn="-2)=e-2(4-2),所以g综上的取值范围为8(-,0J*xo)>»»后”模拟1 .已知函数G)=e2+20r+2)(R),其中e是自然对数的底数.若/(x)在区间-2,0上有解，求实数的取值范围.【解题指导】函数导数一转化为含参二次函数一分类讨论问题求出函数的最小值一最小值不大于二列e不等式求解【解析】若/(x)E在区间-2,0上有解，即求A*/,f,(x)=eA(x2+2av+2)+eA(2x+2)=ex(x+2«)(x+2)【卡壳点】分界点的寻找，比较两根2。,2的大小引起当。=1时，,(x)=ex+2)20,/(力在R上单调递增，所以/在-2,0上的最小值为&1.=(-2)=e2(4-4+2)=卷q不成立，故不满足题意.当aVl时，由/(x)>O得x<-2或x>-2”,由/(x)<0得一2<%<-2«,所以"x)在(f-2),(-2。,”)上单调递增，在(-2,-2)上单调递减，若0时，则函数/(x)在0单调递减，所以/(x)min=/(0)=-2=2£成立，满足题意若0vi<l时，函数Fa)在-2可单调递减，在-功0上单调递增.所以)min=(-2)=e32/,i+竽>1不成立，舍去，当。>1时，由/(x)>0得一勿或X>-2,由/(x)<0得Q<xv-2,所以“x)在(-,-24),(-2,÷)上单调递增，在(Q,-2)上单调递减.所以函数/(另在-2单调递增，/(X1.=/(-2)=e-2(4-2),所以g综上的取值范围为S*÷)2 .(2023北京朝阳一模改编)设,小:)=1+加,虱幻=3一好一3.如果对于任意的“t三I,都有,AS)Nga)与成立，求实数”的取值范围.函数求导，一利用单调性求力(X)ZIf夙示等式求参【解析】对任意的S,匕有AS)g(f),则凡r)min才g(x)ma.2【卡壳点】将恒成立或有解问题进行等价转化gr(x)=3x2-2x=x(3x-2),21令g'(x)=U,得X=O或X=F知当XW匕,2将g(x)max=以2)=1,J2；当£匕,2时，兀r)=E+xhQl恒成立，即1恒成立.【注意点】将不等式恒成立问题等价转化分离参数令z(x)=-/加工，,2,:h'(x)=l-2xln-t2令3(x)=l-2XhIX-X,(X)=-3-2InXV0,/(X)在己,2上单调递减，又1(1)=0,2当x1.,2时，h,(x)>0,当xl,2时，h,(x)W0,2加幻在已上单调递增，在1,2上单调递减，2i(x)nax=(1)=1>故1.,实数。的取值范围是1,+«).>»»后”真题(全国甲(理)卷T21节选)已知/3=Or-W1.,%(,?,若/S)sin2x恒成立，求。的取值范围.【解题指导】移项构造函数f函数求导并化简f二次求导f计算二次导函数的最大值f与O比较大小f确定的分界点f对参数讨论f等价转化求解【解析】设g。)=/(X)-Sin2xg(x)=/(x)-2cos2x=(r)-2(2cos2x-l)=+-2(2t-l)=+2-4/+-、23设(t)=+2-4/+rtt【技巧】在一次求导以后，仍无法确定单调性时，可构造新函数进行二次求导，,、zl26-4r3-2r+62(f-l)(2+2f+3)八()=-4-+-=-½i>0t1rrr所以奴，)V。二。-3.若(-oo,3,g<x)=")v-30即g()在(o.?上单调递减,所以g(x)<g(0)=0.所以当w(-,引J(x)<sin2七符合题意.2。若q(3*),zO,-=-3-+-oo,所以以f）0,e（l）=-3>0.所以（0,1）,使得/。）=0,即却（0弓）使得（小）=O.当，£（“）M"。,即当Xe（O，/）名（工）>。心（幻单调递增.所以当XG(O,%),g(x)>g(0)=0,不合题意.综上的取值范围为（,3.大题典例2导数与不等式的证明已知各项均为正数的等比数列的首项DCicZ¾Cit（1）求数列4的通项公式;/、4（2）已知数列q的前项和S.,证明：1<-.【解】(1)设数列,的公比为q.一，116116因为一+=-f所以+=一,出为%q%q,qJ1,故一+r=6,qq-解得q=g或q=_g.又数列4各项均为正数，所以夕=-：舍去，故q=g,所以凡=；X击.证明：由，得q=gx券，则S"T5+弄>,+券)lcIfl23吟-S”=-rHrH+H1,2"3<2l2223T)51OI1.lll1)两式相减得=3(+2+2t+2+27t27J因为耍o,所以s”=g(2-甯)<(»>»翩让旄导利用导数证明不等式问题的方法直接构造函数法：证明不等式式x)>g(x)(或共幻Vga)转化为证明人工)一g(x)>O(或fix)-g(x)<O),进而构造辅助函数t(x)=y(X)g(X).适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.»>»44变式已知函数人X)=InX+x.,证明：xfix)<ex.InXexmX【解题指导】(x)Vex-1+X<2f构造函数g(x)=l+X*函数g(X)求导f分析单调行f求g(x)maf构造函数MX)=P-函数MX)求导一分析单调行-Mx)min*比较可得【解析】要证Mu)VF,即证/+WnXVeS即证1+乎【技巧】两边同除X2,隔离为两个相对常见的函数令函数g()=+竽，则/(X)=X令g'(x)>0,得x(0,e);令g'(x)v,得XWa÷).所以g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，【易错】忽视对数的定义域所以g(x)n三=g(e)=l+-,AFjkCexwfex(-2)令函数MX)=?,则A'(X)=-1p-<当XW(0,2)时，h,(x)<(h当W(2,+8)时，ht(x)>0.所以MX)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，e2所以(x)min=(2)=-J.因为1(1+')>°，所以,l(x)min>g(x)max,eInpr即1+詈专，从而研X)Ve得证.>»»4”模拟1 .已知函数4X)=I乎，g(x)=一点+x证明：当QI时，«r)+g(x)W2 InXe1【解题指导】/U)+g()2*移项化简-构造函数MX)=I一二I一赢一；+f函数A(X)求导一分析单调行一利用Mr)2Zl(I)=Of得到结论【解析】*r)+g(x)2j=I-乎一点一：+Q0.令/心)=1一华一看-3+x(Q1),【卡壳点】作差构造函数/3=1-乎一点一:+-1InX,e.1.Inx.e,则/(l)=0,hf(x)P+/+?+1=J+亚+1因为左1,所以川(X)=¥+/+1>0,所以力(幻在1,+8)上单调递增,【提醒】注意定义域范围所以(X)NMl)=0,即1一乎一点一打Q0.故当Ql时，f(x)+g(x).2.已知函数凡r)=eS当x>-2时，求证："r)>ln(x+2).【解题指导】构造函数g(x)=e-x1-函数g(x)求导一分析单调行一求g(x)min-构造函数令MX)=X+1一Ill(X+2)f函数A(X)求导-分析单调行fMx)mgf放缩可得【解析】设g(x)=yU)-(x+l)=e"-X-I(X>2),则/Cr)=F-1,当一2VXVo时，