一元二次方程根的分布情况归纳总结(2024.07.22).docx

一元二次方程依2+7+c=O根的分布状况设方程?+b+c=o（。0）的不等两根为A超且玉w，相应的二次函数为/（x）=v2+b+c=O,方程的根即为二次函数图象与X轴的交点，它们的分布状况见下面各表（每种状况对应的均是充要条件）表二：（两根与Z的大小比较）表三：（根在区间上的分布）根在区间上的分布还有一种状况：两根分别在区间(肛)外，即在区间两侧王<叫工2>，(图形分别如下)需满意的条件是对以上的根的分布表中一些特别状况作说明：(1)两根有且仅有一根在(肛)内有以下特别状况：1。若/(机)=0或)=0,则此时/(出/()<0不成立，但对于这种状况是知道了方程有一根为加或，可以求出另外一根,然后可以依据另一根在区间(孙)内，从而可以求出参数的值。如方程如2一(m+2)+2=02?在区间(1,3)上有一根，因为"1)=0,所以如2一(m+2)x+2=(x-l)(nr-2),另一根为一,由lv-<3机m得2<相<2即为所求；32°方程有且只有一根，且这个根在区间(见)内，即A=O,此时由A=O可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程9一4g+2m+6=0有且一根在区间(一3,0)内，求M的取值范围。分析：由/(一3/(0)<0即153(14n+15)(仅+3)<0得出一3<加<:由=()即16帆*一4(2m+6)=0得出机=-1或加=；,当33加=一1时，根jr=-2(-3,0),即m=一1满意题意；当相=/时，ftix=3(-3,0),故加=不满意题意；综上分析，得出一3<相<一丝或加=T14函数与方程思想：若y=(x)与入轴有交点=f()=0若y=/()与y=g()有交点(，y0)<=>/W=g()有解工O。根的分布练习题例1、已知二次方程(2m+l)d-2mx+(m一I)=O有一正根和一负根，求实数机的取值范围。解：由(2w+l)(0)<0即(2m+l)(/一I)V0,从而得1即为所求的范围。例2、已知二次函数丁=(机+2)/一(26+4户+(3m+3)与4轴有两个交点，一个大于1.一个小于1,求实数m的取值范围。解：由(6+2(1)<0即(n+2>(2w+l)<0=一2<m<；即为所求的范围。例3、已知二次方程出/+(2加一3)x+4=0只有个正根且这个根小于1,求实数团的取值范围。解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则/(0卜/(1)<0=4(3n+l)Vo=m<一；即为所求范围。(注：本题对于可能出现的特别状况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内，由=()计算检验，均不复合题例4.已知关于X的二次方程2+2三÷2w+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求机的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求山的范围1.若方程4、+(m-3)2'+m=0有两个不相同的实根，求加的取值范围。2 .已知函数y=4'+m2*+l有且只有一个零点，求机的取值范围，并求出该零点3 .关于X的一元二次方程x1-2ax+2=0,当。为何实数时：(1)不同两根在(1,3)之间(2)有一个根大于2,另一个根小于2(3)在(1,3)内有且只有一解4 .已知。是实数，函数/。)=2奴2+2工_3-”.假如y=(x)在区间上有零点，求。的取值范围